[Toán Học] Công Thức Diện Tích, Phương Trình Chính Tắc Hình Elip

diện tích hình elip
5/5 - (3 bình chọn)

Hình elip là một hình đặc biệt trong toán học, chúng ta thường nhầm lẫn hình elip với hình bầu dục. Dưới đây, cùng thuthuatpc.vn tìm hiểu thêm về hình elip cùng các kiến thức liên quan như khái niệm, tính chất, công thức tính diện tích hình elip và tìm hiểu về phương trình chính tắc của elip cơ bản nhé!

Xem thêm >> Hình Trụ. Công Thức Tính Diện Tích Xung Quanh Hình Trụ

Hình elip

Theo như khái niệm được đưa ra trong toán hình học, chúng ta có định nghĩa về hình elip như sau:

Cho 2 điểm cố định F1, F2  và một độ dài không đổi 2a lớn hơn độ dài F1F2 . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng, sao cho:

F1M + F2 M = 2a

Các điểm F1, F2  được gọi là tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hình elip.

Chúng ta có thể hiểu một cách đơn giản rằng, hình elip chính là hình mà chúng ta có được khi cắt qua một hình nón, hình trụ có góc lớn hơn 0. Hình tròn là hình elip đặc biệt.

diện tích hình elip
Hình elip

Xem thêm>>

Công thức tính diện tích hình elip

Hình elip trong hình có:

  • Hai trục đối xứng A1A2và B1B2: trục lớn A1A2, trục bé B1B2. Nửa chiều dài trục lớn gọi là (a), trục bé là (b).
  • Hai trục đối xứng A1A2 và B1B2 vuông góc với nhau, cắt nhau tại O ( tâm đối xứng).
  • Từ tâm elip O đến tiêu điểm F1, F2gọi là bán tiêu cự (c).

Vậy nên, chúng ta có:

  • A1, A2, B1, B2 là đỉnh của hình Elip.
  • B1, B2là trục bé (2a).
  • A1, A2 là trục lớn (2b).
  • F1F2là tiêu cự của hình Elip (2c)

Công thức tính diện tích hình elip:  S = π.a.b.

Trong đó:

  • S: diện tích hình elip.
  • Π xấp xỉ 3,14
  • a: độ dài bán trục lớn.
  • b: độ dài bán trục bé.
diện tích hình elip
Công thức tính diện tích hình elip

Bài tập tính diện tích hình elip

Bài 1

Tính diện tích hình elip, biết:

  1. Trục lớn và trục nhỏ có độ dài lần lượt là 8cm và 4cm.
  2. Trục lớn MN= 4cm, trục nhỏ IK = 2.5cm
  3. Khoảng cách từ điểm xa nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ là 7cm và khoảng cách từ điểm gần nhất nằm trên đến gốc tọa độ là 6cm.

Phương pháp giải:

  • a,b: Áp dụng công thức tính diện tích hình elip:  S = π.a.b.
  • c: Khoảng cách từ điểm xa nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ = bán trục lớn = a. Khoảng cách từ điểm gần nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ = bán trục bé = b.

Giải:

a)

Diện tích hình elip có trục lớn 8cm, trục bé 4cm là: S = π x a x b = π x 8/2 x 4/2 = 8π (cm²).

b)

MN = 4cm => 2a = 4cm => a = 2cm.

IK = 2,5cm => 2b = 2,5cm => b = 1,25cm

=> S = π.a.b = π.2.1,25 = 2,5π (cm²)

c)

Khoảng cách từ điểm xa nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ là 7cm => a = 7cm

Khoảng cách từ điểm gần nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ là 6cm => b = 6cm

=> S = π.a.b = π.7.6 = 42π (cm²)

Bài 2:

Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong các trường hợp dưới đây:

  1. Một đỉnh trên trục lớn là (3; 0) và một tiêu điểm là (-2; 0)
  2. (E) đi qua điểm: M(0; 1) và N(1, √3/2)

Phương pháp giải:

  • a) Một đỉnh trên trục lớn là (3; 0) là điểm A2 => a = 3. Một tiêu điểm là (-2; 0) ) là điểm F1 => c =2. Tính b.
  • b) Thay toạ độ M, N vào phương trình E.

Để dễ tưởng tượng, các bạn có thể vẽ toạ độ và đánh dấu điểm lên đó.

Giải:

a)

Ta có: a = 3, c =2 => b² = a² –  c² = 9 – 4 = 5.

=> Phương trình chính tắc của elip là: x²⁄9 + y²⁄5 = 1

b)

Phương trình chính tắc của (E) có dạng: x²⁄a² + y²⁄b²= 1

Vì E đi qua điểm M(0;1) và N(1, √3⁄2) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình (E) ta được: x²⁄4 + y²⁄1 = 1

Đặc điểm của hình elip

Trong hình elip, ta luôn có:

  • c2 = a2 – b2
  • Độ dẹt của hình elip (tâm sai, độ lệch tâm) được tính bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn. Công thức:

diện tích hình elip

Khi e = 0 thì 2 tiêu điểm sẽ trùng nhau. Khi này, hình elip sẽ trở thành hình tròn.

Công thức tính chu vi hình elip:

diện tích hình elip
Công thức tính chu vi hình elip

Phương trình chính tắc của elip

Cho elip ( E ) có các tiêu điểm F1 và F2 . điểm m thuộc elip khi và chỉ khi F1M + F2 M = 2a. chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho F1 = (-c; 0) và F2 = (c; 0). Khi đó chúng ta có:

diện tích hình elip

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc.

Chứng minh phương trình chính tắc:

diện tích hình elip

Hình dạng và tính chất hình elip

Elip có phương trình (1) nhận các trục toạ độ là trục đối xứng, nhận gốc toạ độ là gốc đối xứng.

  • Tiêu điểm: tiêu điểm bên trái F1 = (-c; 0) và tiêu điểm bên phải F2= (c; 0).
  • Các đỉnh: A1 (-a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; -b), B2(0; b).
  • Trục lớn A1A2 = 2a nằm trên trục Ox. Trục bé B1B2 = 2b nằm trên trục Oy.
  • Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x, y gọi là hình chữ nhật cơ sở.
  • Tâm sai e = c/a < 1.
  • Bán kính đi qua tiêu điểm của M ( xM; yM ) thuộc ( E ) là:

diện tích hình elip

Xem thêm >> [Toán Học] Công Thức, Bài Tập Tính Chu Vi, Diện Tích Của Hình Bình Hành

Tạm kết

Với những kiến thức về hình elip, diện tích hình elip, phương trình chính tắc mà thuthuatpc.vn đã thống kê lại, hy vọng các bạn đã nắm rõ. Đây là một hình học đặc biệt, nhiều kiến thức rắc rối và phức tạp vì còn liên quan đến hệ toạ độ. Các bạn nên tham khảo thêm để rõ hơn nhé!

Các từ khoá tìm kiếm liên quan

  • chứng minh diện tích hình elip
  • ví dụ tính diện tích hình elip
  • cách tìm diện tích hình elip
  • diện tích hình elip có phương trình
  • diện tích hình chữ nhật cơ sở của elip
  • Công thức tính chu vi và diện tích hình elip

Giới thiệu Đức Minh 494 bài viết
Mình là Đức Minh, admin của thuthuatpc.vn. Là một người yêu công nghệ, yêu viết lách. Mong rằng đến với thuthuatpc bạn có thể có cho mình những thông tin hữu ích, những kiến thức về Công nghệ, thủ thuật, máy tính, word, excel...