[Toán Học] Hình Nón. Diện Tích Xung Quanh Hình Nón

Hình nón là một trong những hình cơ bản cúa toán hình học. Bên cạnh khái niệm, công thức tính diện tích xung quanh hình nón cơ bản, thuthuatpc.vn sẽ giới thiệu đến các bạn các công thức khác liên quan đến hình nón. Để hiểu công thức hơn, chúng ta cùng nhau giải một số bài tập liên quan đến hình nón trong sách bài tập nhé!

Xem thêm >> [Toán học] Công Thức Tính Chu Vi Hình Vuông. Giải BT SGK – SBT

Khái niệm hình nón

Hình nón là hình được tạo ra khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh một cạnh góc vuông AO cố định.

Trong đó:

•  Cạnh góc vuông CO quay một vòng tạo nên một hình tròn, gọi là đáy của hình nón.
•  Cạnh huyền AC quay nên tạo mặt xung quanh của hình nón.
•  Mỗi vị trí của của AC là một đường sinh.
•  Điểm A gọi là đỉnh của hình nón.
•  Cạnh góc vuông AO gọi là đường cao của hình nón.

Từ đó, ta có các khái niệm về các thành phần của hình nón:

•  Đường cao là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp. Khí hiệu: h

Là một cạnh góc vuông cố định của hình tam giác vuông tạo nên hình nón. Nên có thể tính đường cao bằng công thức: h = l² – r²

•  Đường sinh là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh của hình chóp. Kí hiệu: l

Đường sinh chính là cạnh huyền của tam giác vuông tạo nên hính nón. Có thể tính cạnh huyền bằng công thức: l = r² + h²

• Bán kính hay chính là cạnh góc vuông còn lại quay tạo nên đáy của hình nón còn. Kí hiệu: r

Khi biết đường cao và đường sinh, ta có thể tính bán kính như sau: r = l² – h²

Diện tích xung quanh hình nón

Diện tích xung quanh hình nón chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình nón, không gồm diện tích đáy.

Biểu diễn bằng lời như sau: Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của Pi (π) nhân với bán kính đáy hình nón nhân với đường sinh hình nón.

Hoặc tính với công thức sau: “Công thức tính diện tích xung quanh bằng một nửa tích của chu vi đường tròn đáy và độ dài đường sinh”. Bởi lẽ, π.r chính là nửa chu vi đường tròn.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón được tính như sau:

S_{xung quanh} = π.r.l

Trong đó:

•  S_{xung quanh} là diện tích xung quanh hình nón
•  r là bán kính đáy hình nón
•  l là độ dài đường sinh hình nón
• π: là hằng số Pi = 3,14

Bài tập áp dụng

Bài 14 Trang 166 SBT Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, ˆB=60⁰ và BC = 2a (đơn vị độ dài). Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền BC. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành.

Phương pháp giải:

• Hình tạo thành được ghép từ 2 hình nón.
• Diện tích xung quanh hình cần tính bằng tổng diện tích xung quanh 2 hình nón.
• Thể tích hình cần tính bằng tổng thể tích 2 hình nón.

Giải:

Ta có hình vẽ:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

AB = BC.cosB = 2a.cos60° = 2a. 1/2= a

Bài 15 Trang 166 SBT Toán 9 tập 2

Cắt bỏ hình quạt OPSQ ( xem hình bên – phần gạch sọc). Biết độ dài góc PRQ là x thì phần còn lại có thể ghép thành hình nón nào dưới đây?

Giải:

Phần còn lại ghép thành hình nón sẽ có đường sinh là y, chu vi đáy là độ dài của cung PRQ là x

Vậy chọn hình (A)

Diện tích toàn phần hình nón

Diện tích toàn phần được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích đáy tròn.

Diện tích toàn phần của hình nón được tính theo công thức sau:

S_{toàn phần} = S_{xung quanh} + S_đáy = π.r.l + π.r²

Trong đó:

• S_{toàn phần}là diện tích toàn phần hình nón
• S_đáylà diện tích mặt đáy trong của hình nón
•  S_{xung quanh} là diện tích xung quanh hình nón
•  r là bán kính đáy hình nón
•  l là độ dài đường sinh hình nón
• π: là hằng số Pi = 3,14

Bài tập áp dụng

Bài 18 Trang 167 SBT Toán 9 tập 2

Diện tích toàn phần của hình nón theo các kích thước của hình bên 97 là:

(A) 220

(B) 264

(C) 308

(D) 374

(Chọn π = 227227 và tính gần đúng đến cm²)

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Diện tích toàn phần bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy. Vậy để tính diện tích toàn phần, ta tìm:

• Diện tích xung quanh hình nón
• Diện tích đáy hình nón.

Giải:

Diện tích xung quanh hình nón là: S_xq = πrl = 22/7.7.10 = 220 (cm²)

Diện tích đáy hình nón là: S = πr² = 22/7.7² = 154 (cm²)

Diện tích toàn phần hình nón là: S_tp = S_xq + S = 220 + 154 = 374 (cm²)

Vậy chọn đáp án (D)

Bài 19 Trang 167 SBT Toán 9 tập 2

Cho hình bình hành ABCD với AB = 1, AD = x (x > 0) và ˆBAD=60⁰

1. a) Tính diện tích toàn phần S của hình tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AB và diện tích toàn phần S₁ của hình tạo thành khi quay cạnh AD
2. b) Xác định giá trị x khi S = S₁và S = 2S₁

Phương pháp giải:

1. Tính diện tích toàn phần của hình S.

Khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AB. Ta được:

• Một hình trụ có đường cao bằng đường sinh CD và bán kính đáy bằng bán kính hình nón.
• Hai hình nón bằng nhau có đường sinh AD = BC = x

=> Diện tích toàn phần của hình S = tổng diện tích xung quanh của hai hình nón và diện tích xung quanh của hình trụ.

Tính diện tích toàn phần S₁

Hình S₁ được tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AD. Ta được:

• Hai hình nón bằng nhau, có đường sinh AD = BC = 1.
• Một hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.

=> Diện tích toàn phần của hình S₁ = tổng diện tích xung quanh của hai hình nón và diện tích xung quanh của hình trụ.

2.

Để S = S₁

<=>

Giải phương trình, từ đó tính ra x

Để S = 2S₂

<=>

Giải phương trình, từ đó tính ra x

Giải:

Tính S

Tính S₁

b)

Để S = S₁

<=>

⇒ x(x + 1) = x + 1

⇒ x(x + 1) – (x + 1) = 0

⇒ (x + 1)(x + 1) = 0

⇒    x = −1 (L) Hoặc x = 1(TM)

Loại -1 vì đây là số đo trong hình học thì không có giá trị âm.

Vậy với x = 1 thì S = S₁

Để S = 2S₂

<=>

⇒ x(x + 1) = 2(x + 1)

⇒ x(x + 1) – 2(x + 1) = 0

⇒ (x – 2)(x + 1) = 0

⇒ x = −1(L) hoặc x =2(TM)

Loại -1 vì đây là số đo trong hình học thì không có giá trị âm.

Vậy với x = 2 thì S = 2S₂

Thể tích hình nón

Thể tích hình nón là lượng không gian mà hình nón chiếm.

Công thức tính thể tích hình nón bằng  diện tích của mặt đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể như sau:

 V_{hình nón =} . π.r².h

Trong đó:

• V là thể tích hình nón
• h: Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy hình nón
• r là bán kính đáy hình nón
• π: là hằng số Pi = 3,14

Xem thêm >> Diện Tích Xung Quanh Hình Nón. Các Công Thức Liên Quan Đến Hình Nón

Bài tập tính thể tích hình nón

Bài 16 Trang 167 SBT Toán 9 tập 2

Một chiếc cốc dạng hình nón chứa đầy rượu (hình 95). Cụ Bá uống một lượng rượu nên “chiều cao” của rượu còn lại trong cốc bằng một nửa chiều cao ban đầu. Hỏi cụ Bá đã uống bao nhiêu phần rượu trong cốc?

Phương pháp giải:

• Tính thể tích chiếc cốc khi chứa đầy rượu.
• Tính thể tích rượu còn lại.
• Phần rượu cụ Bá đã uống là hiệu thể tích chiếc cốc đầy rượu trừ đi phần rượu còn lại.

Giải:

Thể tích rượu ban đầu trong cốc là: V₁ = 1/3.πR².H

Thể tích rượu còn lại trong cốc là:

V₂ = 1/3.πr².h= 1/3.π(R/2)2.H/2 = 1/8.1/3.πR2H= 1/8.1/3.πR²H = 1/8.V1

Thể tích rượu đã uống là: V₁ – V₂ = V₁ – 1/8.V₁ = 7/8.V₁

Vậy cụ Bá đã uống 7/8 thể tích rượu trong cốc.

Bài 17 Trang 167 SBT Toán 9 tập 2

Người ta minh họa một cái xô đựng nước như hình 96. Thể tích nước chứa đầy xô sẽ là (tính theo cm³):

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

• Tính thể tích hình nón có đường kính đáy là 0,2 m. V₁
• Tính thể tích hình nón có đường kính đáy là 0,1 m. V₂
• Thể tích nước chứa đầy xô = V₁ – V₂

Giải:

Xem thêm >> Tính Diện Tích Hình Chữ Nhật. Giải BT Diện Tích trong SGK

Tạm kết

Trên đây, thuthuatpc.vn đã hướng dẫn chi tiết cho các bạn về hình nón, diện tích xung quanh hình nón và các công thức cùng bài tập liên quan. Để làm được tốt hơn dạng bài này, các bạn nên tham khảo, tìm và giải thêm các bài nâng cao khác. Hy vọng bài viết giúp ích được cho các bạn trong quá trình học bài!

Các từ khoá tìm kiếm liên quan:

• Diện tích hình nón
• The tích hình nón
• Bài tập tính diện tích xung quanh hình nón
• Diện tích xung quanh hình nón cụt

Đức Minh

Mình là Đức Minh, admin của thuthuatpc.vn.
Là một người yêu công nghệ, yêu viết lách. Mong rằng đến với thuthuatpc bạn có thể có cho mình những thông tin hữu ích, những kiến thức về Công nghệ, thủ thuật, máy tính, word, excel…

See author's posts